四色定理：机器首次在数学证明上压倒数学家

1976年7月，一个困扰数学家超过一个世纪的数学之谜终于被解开：四色定理*

*四色定理陈述： 任何地图的各区域着色，最多需要四种颜色即可使任何两个相邻区域颜色不同

其作者——Kenneth Appel 和 Wolfgang Haken——会感谢一位非传统的合作者：一台计算机承担了大量的数学繁重工作，准确地说是 1,200 小时的计算和 100 亿次决策。

Appel 和 Haken 后来描述该系统如何"开始教我们一些我们从未预料到的处理方法"，并承认该系统在某些智力任务上已经"超越了其创造者"。一个人机数学的勇敢新世界已经开启，引出一个问题：我们是否要相信一个庞大到任何人类都无法验证的数学证明？

数学家们的反应从接受，到拒绝甚至否认——而非普遍的赞美。以理性为荣的数学家们，突然面对一个数学上的摩洛克（moloch），这对他们来说一定像是异端邪说。

"上帝不会让定理用如此糟糕的方法被证明！"—— Herbert Wilf，宾夕法尼亚大学

一些人抗议没有数学推理的数学证明，并大声疾呼：

"当前的证明实际上依赖于一个神谕，我要打倒神谕！它们不是数学"……——Paul Halmos，加州大学圣巴巴拉分校

"如果解决方案涉及对特殊情况的计算机验证……那么这样的解决方案根本不属于数学科学。"——Frank Bonsall，爱丁堡大学

"将 Appel 和 Haken 的计算机把戏纳入数学的行列只会让我们在智力上感到空虚。"——Daniel Cohen，纽约亨特学院

另一些人则拒绝相信真的找到了证明：

"在他们发表的内容中不仅找不到证明，而且甚至没有任何东西看起来像是证明……这是数学史上最荒谬的'皇帝的新衣'事件"——George Spencer-Brown，剑桥大学

一位数学系系主任拒绝让 Appel 和 Haken 与他的研究生见面，声称他们的方法消除了寻找可验证且更优雅证明的动力：

“由于这个问题已以一种完全不当的方式被解决了，任何一流数学家都不会再着手研究它了，因为他不会是第一个这么做的人，因此一个像样的证明可能会无限期地推迟。”（Robin Wilson 在 Four Colors Suffice 中转述）

有趣的是——也在意料之中——年龄似乎是人们接受计算机辅助证明的决定性因素。在 Harken 的儿子（曾协助其父亲完成证明）做完关于该证明的演讲后，据报道听众分成了两派：“40 岁以上的人无法相信由计算机完成的证明是正确的，而 40 岁以下的人则无法相信一份含有 700 页手算过程的证明是正确的。”（经由 Robin Wilson 的著作 Four Colors Suffice）

该证明获得了一些颇具影响力的背书。传奇数学家 Bill Tutte——他曾在期刊上公开质疑他们所选用的计算机辅助方法——最终承认问题已经解决，并赋诗庆贺：

Wolfgang Haken

Smote the Kraken

One! Two! Three! Four!

Quoth he: “The monster is no more.”

备受尊敬的德国数学家 Heinrich Heesch 勉强接受了这一证明——因为他为这个问题已经耗费了四十年的心血，甚至创造出了 Appel 与 Haken 所采用的关键算法方法。其他数学家也严肃对待这一证明，比如 Ted Swart——他曾几乎在同一时期逼近完成一份计算机辅助证明——却最终被人抢先一步。

高知名度的背书帮助这项证明获得可信度并登上头条，但《纽约时报》 是个例外，其编辑拒绝报道这一突破，因为他们担心这可能是一场虚惊。数月后，该证明被认定为可靠，编辑们 则辩称它已不再具有新闻价值。它之所以出现在这份权威报纸上，全靠一篇专栏文章，文章作者是Lipman Bers，他是美国数学学会的主席。

关于“无推理的证明”的争论在 1979 年愈演愈烈，当时哲学家 Thomas Tymoczko 在 The Journal of Philosophy 中辩称，一份无法被完整审视的证明算不上传统的数学证明（不过他并不怀疑该证明在技术层面上证明了其所宣称的内容）。

“没有数学家见过四色定理的证明，也没有人见过证明它已被证明的证明。此外，任何数学家极有可能永远不会见到四色定理的证明。”——Thomas Tymoczko

Ted Swart 对 Tymoczko 进行了反驳，在发表于《American Mathematical Monthly》的一篇回应文章中，他后来这样总结自己的论点：“我认为计算机辅助证明只是铅笔和纸张的一种延伸。”Swart 还质疑了人类数学家所被默认的绝对可靠性，讽刺道： “人类会感到疲劳，注意力也会游移，而且他们太容易出现各种各样的失误……计算机则不会感到疲劳。”他的反驳后来赢得了阐释性写作奖。

Robin Wilson在其关于定理史的著作中提到，1978 年，Bill Tutte 曾直面 在机器生成证明面前数学家的未来何去何从这一问题：

他的建议是？"保持乐观，你可以继续沿同一总体方向进行研究。" 当然， 他还附上了一首诗：

四色定理只是冰山一角，

它是楔子的薄端，

也是春日里第一声布谷鸟啼鸣。

这无疑出自人之手笔。

我们强烈推荐你阅读 Robin Wilson对这段历史的精彩记述，原文请见此处，这似乎摘自他的著作 Four Colors Suffice：How the Map Problem Was Solved。这段材料极大地帮助我们梳理这段历史。我们已联系 Wilson 寻求采访。

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